Question

【題目】已知函數(shù)（為實數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在處的切線與直線平行.

（1）求實數(shù)的值，并判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)；

（2）證明：當時， .

Answer 1

【答案】（1），沒有零點;（2）見解析.

【解析】【試題分析】（1）先借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程求出的值，再運用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系分析求解；（2）借助題設(shè)先將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，再運用導(dǎo)數(shù)知識進行分析推證：

（1），由題設(shè)，可知曲線在處的切線的斜率，解得，

∴，

∴當時， ，

∴在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

又，∴在區(qū)間內(nèi)沒有零點.

（2）當時， 等價于，記，

則，當時， ，

∴當時， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

∴，即，兩邊取自然對數(shù)，得（），

∴要證明（），只需證明（），

即證當時， ，①

設(shè)，則，令，

則，當時， ；當時， .

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又， ， ，∴，∴存在，使得，

∴當時， ；

當時， ，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又，∴，當且僅當時，取等號，即①式成立，

∴.