Question

已知f（x）=2asin（2x+

π

6

）-a+b，a，b∈Q．當x∈[

π

4

，

3π

4

]時，f（x）∈[-3，

3

-1]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）用列表描點法作出f（x）在[0，π]上的圖象；
（3）簡述由函數y=sin（2x）的圖象經過怎樣的變換可得到函數f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（1）由三角函數的性質求出用參數表示的函數的最值，由于函數的值域已知，故此兩區(qū)間相等，故左端點與左端點相等，右端點與右端點相等，由此得到參數的方程，解出參數值即可．
（2）通過列表，描點連線，畫出函數在[0，π]上的圖象．
（3）函數y=sin（2x）經過左右平移，伸長到原來的2倍，通過上下平移即可得到函數的解析式．

解答：解：（1）∵x∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，
∴2asin（2x+

π

6

）∈[-2a，

3

a]，
∴f（x）∈[-3a+b，

3

a-a+b]，又f（x）∈[-3，

3

-1]．
∴

-3a+b=-3 3 a-a+b= 3 -1

，解得

a=1 b=0

．
f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1．
（2）函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1在[0，π]列表，畫出圖象，如圖．

（3）函數y=sin（2x）經過向左平移

π

12

，伸長到原來的2倍，縱坐標不變，向下平移1單位，即可得到函數的解析式2sin（2x+

π

6

）-1．

點評：本題考點是三角函數的最值，考查利用三角函數的最值建立方程求參數，求三角函數的最值一般需要先研究三角函數的單調性，由單調性求最值，本題求最值采用了求復合函數最值常用的方法；注意函數圖象的平移，五點法作圖的基本方法．