Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=4a_n-3，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=a_n+b_n，n∈N^*，b₁=2，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=4a_n-3，n∈N^*得到當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=4a_n-1-3，兩式相減得a_n=

4

3

a_n-1，求出首項(xiàng)，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用疊加法求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和法進(jìn)行求和即可．

解答：解：（1）因?yàn)镾_n=4a_n-3，n∈N^*．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=4a_n-1-3
兩式相減得a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得a_n=

4

3

a_n-1，
由S_n=4a_n-3，令n=1得a₁=4a₁-3，解得a₁=1
因此{(lán)a_n}是首項(xiàng)為1，公比為

4

3

的等比數(shù)列，所以a_n=(

4

3

)n-1
（2）由a_n=(

4

3

)n-1，b_n+1=a_n+b_n，即b_n+1-b_n=a_n=(

4

3

)n-1
于是當(dāng)n≥2時(shí)，
b_n=b₁+b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+1+

4

3

+(

4

3

)2+…+(

4

3

)n-2
=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3×(

4

3

)n-1-1
而b₁=2滿足n≥2時(shí)，滿足b_n的形式，
所以{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=3×(

4

3

)n-1-1
所以T_n=

3[1-( 4 3 )n]

1- 4 3

-n=9×(

4

3

)n-n-9

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用疊加法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．