如圖所示棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC=，且PD是四棱錐的高．

(1)在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑；

(2)求四棱錐外接球的半徑．

(1)球的最大半徑為．(2)四棱錐外接球的半徑為．


解析:

(1)設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設(shè)它們的高均為R．

VP—ABCD=·SABCD·PD=·a·a·a=a3，

S△PAD=S△PDC=·a·a=a2，

S△PAB=S△PBC=·a·=，

=a2．

VP—ABCD=VS—PDA+VS—PDC+VS—ABCD+VS—PAB+VS—PBC,

R(S△PAD+S△PDC+S△PAB+S△PBC+SABCD),

所以，

,

即球的最大半徑為．

(2)設(shè)PB的中點為F．

因為在Rt△PDB中，F(xiàn)P=FB=FD，

在Rt△PAB中，F(xiàn)A=FP=FB，

在Rt△PBC中，F(xiàn)P=FB=FC，

所以FP=FB=FA=FC=FD．

所以F為四棱錐外接球的球心，

則FP為外接球的半徑．

因為FB=PB，所以FB=.

所以四棱錐外接球的半徑為．

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大��；
（Ⅲ）求點B到平面PDE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點且DF=
1
2
AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
（1）證明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，AD=
2
，F(xiàn)C=1，求三棱錐E-BCF的體積；
（3）證明：EF⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武清區(qū)一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°AB=PA=2，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求BE與平面PAC所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•哈爾濱一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為等邊三角形，平面 PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2且，E為AD 的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求點E到平面PBC的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•濱州一模）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且
PB=PC=
5
．
（Ⅰ）求證：AB⊥CP；
（Ⅱ）求點B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）設(shè)面PAD與面PBC的交線為l，求二面角A-l-B的大�。�

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