Question

2．設(shè)ξ為隨機變量，從側(cè)面均是等邊三角形的正四棱錐的8條棱中任選兩條，ξ為這兩條棱所成的角．
（1）求概率$P（ξ=\frac{π}{2}）$；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）從正四棱錐的8條棱中任選2條，共有${C}_{8}^{2}$種不同方法，其中“ξ=$\frac{π}{2}$”包含了兩種情形：從底面正方形的4條棱中任選兩條相鄰的棱，共有4種不同方法；從4條側(cè)棱中選兩條，共有2種不同方法．由此能求出概率P（ξ=$\frac{π}{2}$）．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為0，$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答 解：（1）從正四棱錐的8條棱中任選2條，共有${C}_{8}^{2}$種不同方法，
其中“ξ=$\frac{π}{2}$”包含了兩種情形：
①從底面正方形的4條棱中任選兩條相鄰的棱，共有4種不同方法，
②從4條側(cè)棱中選兩條，共有2種不同方法，
∴P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{4+2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$．
（2）依題意，ξ的所有可能取值為0，$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$，
“ξ=0”包含了從底面正方形的4條棱中任選兩條對棱，共同點種不同方法，
∴P（ξ=0）=$\frac{2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{14}$，
P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{4+2}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$．
P（ξ=$\frac{π}{3}$）=1-P（ξ=0）-P（ξ=$\frac{π}{2}$）=$\frac{5}{7}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{5}{7}$	$\frac{3}{14}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{14}+\frac{π}{3}×\frac{5}{7}+\frac{π}{2}×\frac{3}{14}$=$\frac{29π}{84}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意立體幾何性質(zhì)的合理運用．