Question

 

如圖，直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，．

   （Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；

   （Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的大�。�

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本試題主要考查空間的線面關(guān)系與空間角的求解，考查考生的空間想象與推理計算的能力.

【參考答案】

解法一：

（I）連接A₁B，記A₁B與AB₁的交點(diǎn)為F.

因為面AA₁BB₁為正方形，故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，又D為BB₁的中點(diǎn)，故DE∥BF，DE⊥AB₁.  ………………3分

作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).

又由底面ABC⊥面AA₁B₁B.連接DG，則DG∥AB₁，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.

所以DE為異面直線AB₁與CD的公垂線.

（II）因為DG∥AB­₁，故∠CDG為異面直線AB­₁與CD的夾角，∠CDG=45°

設(shè)AB=2，得

作B₂H⊥A₁C₁，H為垂足，因為底面A₁B₁C₁⊥面AA₁C₁C，故B₁H⊥面AA₂C₂C，

又作HK⊥AC₁，K為垂足，連結(jié)B₂K，由三垂線定理，得

因此為二面角A₁—AC₁—B₁的平面角。   

所以二面角 

解法二：

   （I）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B—xyz，

設(shè)AB=2，則A（2，0，0），B₁（0，2，0），D（0，1，0），

又設(shè)C（1，0，c），則

于是

故，

所以DE為異面直線AB₁與CD的公垂線。

   （II）因為等于異面直線與CD的夾角。

故,

即

解得

又

所以       

設(shè)平面AA₁C₁的法向量為

則

即

令

設(shè)平面AB₂C₂的法向量為

則

即

令

所以

由于等于二面角A₁—AC₁—B₁的平面角，

所以二面角A₁—AC₁—B₁的大小為

【點(diǎn)評】三垂線定理是立體幾何的最重要定理之一，是高考的的熱點(diǎn)，它是處理線線垂直問題的有效方法，同時它也是確定二面角的平面角的主要手段.通過引入空間向量，用向量代數(shù)形式來處理立體幾何問題，淡化了傳統(tǒng)幾何中的“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化，這是用向量解立體幾何問題的獨(dú)到之處.