Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1．記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．
（1）求集合M
（2）當(dāng)x∈M∩N時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)k使得x²f（x）+x[f（x）]²≤k恒成立，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由所給的不等式可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，或

x＜1 1-x≤1

 ②．分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求；
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，

3

4

]．當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f（x）=1-x，h（x）=

1

4

-（x-

1

2

）²，顯然它小于或等于

1

4

，最大值即可得到，令k不小于最大值即可．

解答： 解：（1）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，
或

x＜1 1-x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
綜上，原不等式的解集M為[0，

4

3

]．
（2）由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵當(dāng)x∈M∩N時(shí)，
f（x）=1-x，h（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]
=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

2

時(shí)，取得最大值

1

4

．
則函數(shù)的最大值為

1

4

．
故存在實(shí)數(shù)k，使得x²f（x）+x[f（x）]²≤k恒成立，
且k≥

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．