Question

已知函數(shù)f（x）=2^x+arctanx，數(shù)列{a_n}滿足，則f（a₂₀₁₂）=    ．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=2^x+arctanx，知f'（x）=2^x•ln2+，由f（x）嚴(yán)格單調(diào)遞增，得a_n+1=，所以，由此能夠求出f（a₂₀₁₂）．
解答：解：∵f（x）=2^x+arctanx，
∴f'（x）=2^x•ln2+，
顯然對(duì)于任意x∈R它都是嚴(yán)格大于0的，
所以f（x）嚴(yán)格單調(diào)遞增，
∵，
∴a_n+1=，
對(duì)任意n∈N^*，變形得a_n+1-2a_n•a_n+1-a_n=0，
-2=0，
∴，
所以，
將a₁=和n=2012代入得a₂₀₁₂=1，
所以f（a₂₀₁₂）=f（1）=2+．
故答案為：2+．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．