Question

2010年廣州亞運會乒乓球男單決賽中，馬龍與王皓在前三局的比分分別是9：11、11：8、11：7，已知馬琳與王皓的水平相當，比賽實行“七局四勝”制，即先贏四局者勝，求（1）王皓獲勝的概率； （2）比賽打滿七局的概率．（3）記比賽結(jié)束時的比賽局數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）在馬龍先前三局贏兩局的情況下，王皓取勝有兩種情況．第一種是王皓連勝三局；第二種是在第四到第六局，王皓贏了兩局，第七局王皓贏．由此能求出王皓獲勝的概率．
（2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：馬龍勝或王皓勝．記“比賽打滿七局，馬龍勝”為事件A，則P（A）=

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；記“比賽打滿七局，王皓勝”為事件B，則P（B）=

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；由事件A、B互斥，能求出比賽打滿七局的概率．
（3）比賽結(jié)束時，比賽的局數(shù)為5，6，7，則打完五局馬龍獲勝的概率為

1

2

×

1

2

=

1

4

；打完六局馬琳獲勝的概率為

C

1 2

(

1

2

)2×

1

2

=

1

4

，王皓取勝的概率為(

1

2

)3=

1

8

；比賽打滿七局，馬龍獲勝的概率為

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓取勝的概率為為

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

．由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）在馬龍先前三局贏兩局的情況下，王皓取勝有兩種情況．第一種是王皓連勝三局；第二種是在第四到第六局，王皓贏了兩局，第七局王皓贏．在第一種情況下王皓取勝的概率為(

1

2

)3=

1

8

；在第二種情況下王皓取勝的概率為為

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓獲勝的概率

1

8

+

3

16

=

5

16

；（3分）
（2）比賽打滿七局有兩種結(jié)果：馬龍勝或王皓勝．記“比賽打滿七局，馬龍勝”為事件A，則P（A）=

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；記“比賽打滿七局，王皓勝”為事件B，則P（B）=

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；因為事件A、B互斥，所以比賽打滿七局的概率為P（A）+P（B）=

3

8

．（7分）
（3）比賽結(jié)束時，比賽的局數(shù)為5，6，7，則打完五局馬龍獲勝的概率為

1

2

×

1

2

=

1

4

；打完六局馬琳獲勝的概率為

C

1 2

(

1

2

)2×

1

2

=

1

4

，王皓取勝的概率為(

1

2

)3=

1

8

；比賽打滿七局，馬龍獲勝的概率為

C

1 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

，王皓取勝的概率為為

C

2 3

(

1

2

)3×

1

2

=

3

16

；所以ξ的分布列為

ξ	5	6	7
P（ξ）	1 4	3 8	3 8

Eξ=5×

1

4

+6×

3

8

+7×

3

8

=

49

8

．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時要注意n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率公式的應(yīng)用．