自直線y=x上點(diǎn)向圓x2+y2-6x+7=0引切線,則切線長的最小值為
 
分析:把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式后,找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑,利用圖形可知,當(dāng)圓心A與直線y=x垂直時,過垂足作圓的切線,切線長最短,連接AB,根據(jù)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑可得三角形ABC為直角三角形,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離即為|AC|的長,然后根據(jù)半徑和|AC|的長,利用勾股定理即可求出此時的切線長.
解答:精英家教網(wǎng)解:過圓心A作AC⊥直線y=x,垂足為C,
過C作圓A的切線,切點(diǎn)為B,連接AB,
所以AB⊥BC,此時的切線長CB最短.
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式方程得(x-3)2+y2=2,
所以圓心A(3,0),半徑為
2
,
圓心A到直線y=x的距離AC=
|3|
1+1
=
3
2
2
,
根據(jù)勾股定理得CB=
(
3
2
2
)
2
-(
2
)
2
=
10
2

故答案為:
10
2
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值,掌握圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑這個性質(zhì),是一道中檔題.此題的關(guān)鍵是找出切線長最短時的條件,根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形.
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已知圓Mx2+y2-2tx-6t-10=0,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),若橢圓C與x軸的交點(diǎn)A(5,y0)到其右準(zhǔn)線的距離為
10
3
;點(diǎn)A在圓M外,且圓M上的點(diǎn)和點(diǎn)A的最大距離與最小距離之差為2.
(1)求圓M的方程和橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),自點(diǎn)P向圓M引切線,切點(diǎn)分別為A、B,請試著去求
P
A•
P
B
的取值范圍;
(3)設(shè)直線系M:xcosθ+(y-3)sinθ=1(θ∈R);求證:直線系M中的任意一條直線l恒與定圓相切,并直接寫出三邊都在直線系M中的直線上的所有可能的等腰直角三角形的面積.

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