Question

（06年遼寧卷）（14分）

已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為．

（1）證明線段是圓的直徑；

（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值．

Answer 1

解析：（I）證法一：

即

整理得

......................12分

設(shè)點(diǎn)M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則

即

展開上式并將①代入得

故線段是圓的直徑。

證法二：

即，

整理得

①……3分

若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則

去分母得

點(diǎn)滿足上方程，展開并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

證法三：

即，

整理得

以為直徑的圓的方程是

展開，并將①代入得

所以線段是圓的直徑.

（Ⅱ）解法一：設(shè)圓的圓心為，則

，

又

所以圓心的軌跡方程為：

設(shè)圓心到直線的距離為，則

當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得

……14分

解法二：設(shè)圓的圓心為，則



又

…………9分

所以圓心得軌跡方程為…………11分

設(shè)直線與的距離為,則

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090413/20090413095807061.gif' width=91>與無(wú)公共點(diǎn).

所以當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到的距離最小，最小值為

將②代入③，有

…………14分

解法三：設(shè)圓的圓心為，則

若圓心到直線的距離為，那么

又

當(dāng)時(shí)，有最小值時(shí)，由題設(shè)得