某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

【答案】分析：先以A為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系得到A、F、E、C的坐標．設出拋物線的解析式把F坐標代入可求出，根據(jù)坐標EC所在直線的方程，設出P的坐標表示出PQ、QE、PR，利用梯形的面積公式表示出S，求出S′=0時的值來討論S的增減性得到S的最大值即可．
解答：解：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，
則A（0，0），F(xiàn)（2，4），
由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為y=ax2（a＞0），
由4=a×22得，a=1，
∴AF所在拋物線的方程為y=x2，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直線的方程為y=x+4，
設P（x，x2）（0＜x＜2），
則PQ=x，QE=4-x2，PR=4+x-x2，
∴工業(yè)園區(qū)的面積（0＜x＜2），
∴S'=-3x2+x+4，令S'=0得或x=-1（舍去負值），
當x變化時，S'和S的變化情況如下表：

由表格可知，當時，S取得最大值．
答：該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．
點評：考查學生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)關系的能力，以及會利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃建成一個矩形的高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，OA∥BC，且AB=BC=4km，AO=2km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向上的拋物線的一段．如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB，BC上，且一個頂點落在曲線段OC上．問：應如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農業(yè)用地規(guī)劃成一個矩形高科技工業(yè)園區(qū)．已知AB⊥BC，DA∥BC且AB=BC=2AD=4km，曲線段OC是以點O為頂點且開口向右的拋物線的一段．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線段的方程；
（2）如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上，且一個頂點落在DC上，問如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積（精確到0.1km2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km其中曲線段AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線的一部分．分別以直線AB，AD為x軸和y軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線段AF所在拋物線的方程；
（2）設點P的橫坐標為x，高科技工業(yè)園區(qū)的面積為S．試求S關于x的函數(shù)表達式，并求出工業(yè)園區(qū)面積S的最大值．

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