Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為AC的中點．
（I）若AB=2，AA1=

2

，求點A到平面BEC₁的距離；
（Ⅱ）當(dāng)

A1A

AB

為何值時，二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

？

Answer 1

分析：（I）由題意及正三棱錐的特點及點E為AC的中點可以得到BE垂直于平面ACC₁A₁，所以要求點A到平面BEC₁的距離，利用三棱錐的等體積法即可求解；
（II）由于要求

A1A

AB

的值為何時，使得二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

，不妨假設(shè)比值為x，利用二面角的值求解出x的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意畫出圖形為：（即點A到平面的距離為h）

∵三棱錐為正三棱錐，且點E為AC的中點，∴BE⊥平面ACC₁A₁
又∵AB=2，AA₁=

2

，∴BE=

3

，
對于三棱錐A-BEC₁的體積為：

1

3

•

1

2

•BE•EC1•h=

1

3

•

1

4

2

• 2•

3

?h=

6

3

故點A到平面BEC₁的距離為

6

3

．

（II）由題意畫圖如下：

由（I）可以知道平面BEC₁與平面ACC₁A₁垂直且交線為EC₁，
所以在平面ACC₁A₁中過點C作CM⊥EC₁，有三垂線定理可以做出已知的二面角的平面角為∠CNM，
不妨假設(shè)AB=1，則A₁A=x，在直角△ECC₁中利用三角形的面積相等可以得到：CM=

1 2 x

1 4 +x2

，
在直角三角形BCC₁中同理可得：CN=

x

1+x2

，
而在直角三角形CMN中sin∠CNM=

CM

CN

= 

1 2 x

1 4 +x2

 ×

1+x2

x

=

10

5

?x=1或x=-1（舍）
所以當(dāng)

A1A

AB

=1時，使得二面角E-BC₁-C的正弦值為

10

5

；
故答案為：比值1．

點評：此題重點考查了學(xué)生的空間想象能力，正三棱錐的特點及利用三棱錐的等體積法求距離，另外還考查了利用三垂線定理作出二面角的平面角及利用假設(shè)建立比值的等式，然后求解的方程的思想．