已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn),過(guò)F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足
(Ⅰ)證明:點(diǎn)P在C上;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q,證明:A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.
【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路,注意把用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上。(II)此問(wèn)題證明有兩種思路:思路一:關(guān)鍵是證明互補(bǔ).通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可,再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。
思路二:根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上,所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N,然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、B、P、Q的距離相等即可.
【精講精析】 (I)設(shè)
直線,與聯(lián)立得
由得
,
所以點(diǎn)P在C上。
(II)法一:
同理
所以互補(bǔ),
因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。
法二:由和題設(shè)知,,PQ的垂直平分線的方程為…①
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則,AB的垂直平分線的方程為…②
由①②得、的交點(diǎn)為
,
,,
故.
所以A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓圓N上.
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