Question

將函數(shù)f(x)=sin

3

4

x•sin

3

4

(x+2π)•sin

3

2

(x+3π)在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列{a_n}，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2，求證：bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π)=-

1

4

sin3x，知f（x）的極值點為x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大排列構成以

π

6

為首項，

π

3

為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由an=

2n-1

6

π知對任意正整數(shù)n，a_n都不是π的整數(shù)倍，知sina_n≠0，從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0．于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1，由此能夠證明bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sin

3

4

x•sin(

3

4

x+

3

2

π)•sin(

3

2

x+

9

2

π)
=sin

3

4

x•(-cos

3

4

x)•cos

3

2

x=-

1

2

sin

3

2

x•cos

3

2

x=-

1

4

sin3x
∴f（x）的極值點為x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，
從而它在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點按從小到大排列構成以

π

6

為首項，

π

3

為公差的等差數(shù)列，
∴an=

π

6

+(n-1)•

π

3

=

2n-1

6

π，（n=1，2，3，…）
（Ⅱ）由an=

2n-1

6

π知對任意正整數(shù)n，
a_n都不是π的整數(shù)倍，
所以sina_n≠0，
從而b_n=sina_nsina_n+1sina_n+2≠0
于是

bn+1

bn

=

sinan+1sinan+2sinan+3

sinansinan+1sinan+2

=

sinan+3

sinan

=

sin(an+π)

sinan

=-1
又b1=sin

π

6

•sin

π

2

•sin

5π

6

=

1

4

，
{b_n}是以

1

4

為首項，-1為公比的等比數(shù)列．
∴bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）

點評：第（Ⅰ）題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)的性質(zhì)和應用，合理運用三角函數(shù)的極值點進行解題．
第（Ⅱ）求證：bn=

(-1)n-1

4

，（n=1，2，3，…）．解題時要認真審題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)證明{b_n}是以

1

4

為首項，-1為公比的等比數(shù)列．