Question

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點(diǎn)。

   （1）求證：AB₁//面BDC₁；

   （2）若AA₁=3，求二面角C₁—BD—C的余弦值；

   （3）若在線段AB₁上存在點(diǎn)P，使得CP面BDC₁，試求AA₁的長及點(diǎn)P的位置。

 

 

Answer 1

【答案】

點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且

【解析】解：（1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，

  則O為B₁C的中點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，

     ，又平面BDC₁，平面BDC₁

           BDC₁    3分

   （2）平面ABC，BCAC，AA₁//CC­₁，面ABC，

       則BC平面AC₁，CC₁AC

       如圖建系，則

       設(shè)平面C₁DB的法向量為      則

       又平面BDC的法向量為

       二面角C₁—BD—C的余弦值：  8分

   （3）設(shè)，

      

又面BDC₁，

       解得

       所以AA₁=2，點(diǎn)P位置是在線段AB₁上且 12分