Question

【題目】在四面體中，，則四面體體積最大時，它的外接球半徑_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意畫出圖形，取AB中點E，連接CE，DE，設(shè)AB=2x（0＜x＜1），則CE=DE=，可知當(dāng)平面ABC⊥平面ABD時，四面體體積最大，寫出體積公式，利用導(dǎo)數(shù)求得體積最大時的x值，再由△ABD的外心G與△ABC的外心H作兩個三角形所在平面的垂線，可得交點O為四面體ABCD的外接球的球心，然后求解三角形得答案．

如圖，

取AB中點E，連接CE，DE，

設(shè)AB=2x（0＜x＜1），則CE=DE=，

∴當(dāng)平面ABC⊥平面ABD時，四面體體積最大，

為V===．

V′=，當(dāng)x∈（0，）時，V為增函數(shù)，當(dāng)x∈（，1）時，V為減函數(shù)，

則當(dāng)x=時，V有最大值．

設(shè)△ABD的外心為G，△ABC的外心為H，

分別過G、H作平面ABD、平面ABC的垂線交于O，則O為四面體ABCD的外接球的球心．

在△ABD中，有sin，則cos，

∴sin=．

設(shè)△ABD的外接圓的半徑為r，則，即DG=r=．

又DE=，∴OG=HE=GE=．

∴它的外接球半徑R=OD=．

故答案為：．