Question

已知點A（0，6），圓C：x²+y²+10x+10y=0．
（1）求過點A且與圓C相切于原點O的圓C₁的方程；
（2）求直線被圓C₁所截得的弦長．

Answer 1

【答案】分析：（1）把圓的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標，由所求圓與圓C相切與原點，得到兩圓心與原點三點共線，由C和原點的坐標確定出三點共線的直線方程，得到所求圓的圓心在此直線上，由線段OA為所求圓中的弦，根據(jù)垂徑定理得到圓心一定在弦AO的垂直平分線上，找出線段AO的垂直平分線，聯(lián)立兩直線方程得出方程組，求出方程組的解得到圓心的坐標，進而利用兩點間的距離公式求出圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的標準方程即可；
（2）由第一問求出的圓的方程得到圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離即為弦心距，再由圓的半徑，利用勾股定理求出弦長得一半，即可求出直線被圓所截得的弦長．
解答：（ 本題滿分（14分） ）
解：（1）由x²+y²+10x+10y=0，得（x+5）²+（y+5）²=50，
所以圓C的圓心坐標（-5，-5），
而圓C₁的圓心C₁與圓心M、原點O共線，
故圓心C₁在直線y=x上，又圓C₁同時經(jīng)過點O與點A（0，6），
所以圓心C₁又在直線y=3上，則有：，
解得：，即圓心C₁的坐標為（3，3），
又|OC₁|==3，即半徑，
故所求圓C₁的方程為（x-3）²+（y-3）²=18；

（2）∵圓心C₁到直線的距離，
故所求的弦長為：．
點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，遇到直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理作出所截得弦的弦心距，由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．