Question

（2010•湖北模擬）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，當(dāng)E、F分別在線段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=3，BC=4，AE=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直．
（1）證明：直線AB與CD是異面直線；
（2）當(dāng)直線AC與平面EFCD所成角為30°時(shí)，求二面角A-DC-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）直線AB與CD是異面直線用反證法證明：假直線AB與CD共面，由線面平行的性質(zhì)定理及平行公理，我們可以得到CD與已知中ABCD為梯形矛盾，進(jìn)而得到直線AB與CD是異面直線；
（2）構(gòu)造∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角，可求EF；延長CD，EF，相交于N，過E作EH⊥DN于H，連接AH，可證得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，從而可求二面角A-DC-E的大小．

解答：解：（反證法）（1）假設(shè)AB，CD共面，
則AB∥CD或AB與CD相交，若AB∥CD，又AB∥EF，
則CD∥EF矛盾．若AB∩CD=P，
則P∈EF，∴AB∩EF=P，矛盾．（6分）
（2）∵AE⊥EF，平面ABEF⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．
∴∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角．∠ACE=30°，AE=2．
∴EC=2

3

，又FC=2，∴EF=2

2

．（8分）
延長CD，EF相交于N，過E作EH⊥DN于H，
連AH，則AH⊥DA．
∴∠AHE是二面角A-DE-E的平面角，又DE=1，F(xiàn)C=2，
則NE=EF=2

2

．
∴EH=

NE•DE

NE2+DE2

=

2 2

3

，tan∠AHE=

2

2 2 3

=

3 2

2

，cos∠AHE=

22

11

．
∴二面角A-DC-E的余弦值是

22

11

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，異面直線的判定，其中（1）中反證法關(guān)鍵是由假設(shè)結(jié)論不成立，推理后得到矛盾，（2）的關(guān)鍵是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角．