函數(shù)f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx．
（I）設F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的兩個極值點的充要條件．
（II）求證：當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

解：（I）函數(shù)f（x）=ax2+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2x+1-lnx，
其定義域為（0，+∞）．
∴=，
∴F（x）有兩個極值點，
∴方程2ax2+2x-1=0有兩個不相等的正根，
∴，
解得，
∴F（x）有兩個極值點的充要條件是．
（II）證明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是：
F（x）=ax2+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），則，
當x∈時，h′（x）＞0，
當時，h′（x）＜0．
∴時，h（x）max=，
故x∈（0，+∞），都有，
∴當a≥0時，在（0，+∞）上恒成立，
即當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax2+2x+1-lnx，其定義域為（0，+∞），知=，由F（x）有兩個極值點，知方程2ax2+2x-1=0有兩個不相等的正根，由此能求出F（x）有兩個極值點的充要條件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），則，由此能夠證明當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
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已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a，b是常數(shù)，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等的實數(shù)根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，3]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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設函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲線y=f（x）通過點（0，2a+3），且在x=1處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ）用a分別表示b和c；
（Ⅱ）當bc取得最大值時，寫出y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）滿足
43
f(x)-6=（x-2）g（x）（x＞2），求g（x）的最大值及相應x值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當a=
1
4
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[0，+∞）時，不等式f（x）≤x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：(1+
2
2×3
)×(1+
4
3×5
)×(1+
8
5×9
)…(1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
)＜e（其中，n∈N*，e是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知實數(shù)a，b，c（a≠0）滿足
a
m+2
+
b
m+1
+
c
m
=0(m＞0)，對于函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，af(
m
m+1
)與0的大小關系是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b為實數(shù)），x∈R，F(x)=
f(x)(x＞0)
-f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）設m•n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

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