Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點，點A（5，0），求線段AP中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍，可求c=1，且b=2c=2，從而可求橢圓的標準方程；
（2）用坐標表示向量，結合橢圓的范圍，從而確定向量數量積的最大值；
（3）設設M（x，y），利用M是AP的中點，求得P點坐標為（2x-5，2y），代入橢圓方程可求解．
解答：解：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以橢圓的方程是…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F₂（1，0）…（6分）
設P（x，y），則
=…（8分）∵，∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，有最小值3；
當，即點P為橢圓長軸端點時，有最大值4     …（10分）
（3）設M（x，y），則P點坐標為（2x-5，2y），…（12分）
代入橢圓方程，得：，即…（16分）
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的標準方程，考查向量意解析幾何的結合，同時考查代入法求軌跡方程，由一定的綜合性