Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-3a）+

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（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）=0有三個不同的零點，必須f(2a)=-4a3+

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＜0．從而求出參數(shù)的范圍．

解答：解：當f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=

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，f(2a)=-4a3+

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．（6分）
（Ⅰ）當a＞0時，2a＞0．
當x變化時，函數(shù)在（-∞，0）增函數(shù)，在（0，2a）上單調減，在（2a，+∞）上單調增（8分）
∴當a＞0時，在x=0處，函數(shù)f（x）有極大值f(0)=

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；在x=2a處，函數(shù)f（x）有極小值f(2a)=-4a3+

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．（10分）
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）=0有三個不同的零點，必須f(2a)=-4a3+

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＜0．（12分）
解得a＞

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．∴當a∈(

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，+∞)時，函數(shù)y=f（x）有三個不同的零點．（14分）

點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．