Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD．
（1）求證：面PAB⊥平面PDC； 
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明面PAB⊥平面PDC； 
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-PD-C的余弦值．

解答： 解：（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，∴OF∥AB，
又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=

a

2

．
以O(shè)為原點(diǎn)，向量，為x，y，z軸建立空間直線坐標(biāo)系，
則有A(

a

2

，0，0)，F(0，

a

2

，0)，D(-

a

2

，0，0)，P(0，0，

a

2

)，B(

a

2

，a，0)，C(-

a

2

，a，0)．
∵E為PC的中點(diǎn)，∴E(-

a

4

，

a

2

，

a

4

)
（1）∵

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)，=（0，-a，0）∴??=（，0，-）?（0，-a，0）=0，
∴

PA

⊥

CD

，從而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PDC．           
（2）由（1）知平面PDC的法向量為

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
設(shè)平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)．
∵=（，0，）?，=（-a，-a，0）
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

BD

=0可得
取x=1，則y=-1，z=-1，故=（1，-1，-1）
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

a

2 2 a× 3

=

6

3

，
即二面角B-PD-C的余弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面和平面垂直的判定以及空間二面角的計(jì)算，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．