Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的所有零點之和．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)零點的判定定理

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先把三角函數(shù)式變形成正弦型函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．
（2）由（1）的結(jié)果進一步求出方程的根，即函數(shù)的零點，進一步求出零點的和．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin²x-cos²x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
（2）由（1）得：函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的所有零點
即：sin（2x-

π

6

）-

1

2

=0
解得：2x-

π

6

=

π

6

或2x-

π

6

=

5π

6

即：x=

π

6

或

π

2

所以所有的零點之和為：

π

6

+

π

2

=

2π

3

故答案為：（1）sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
（2）所有的零點之和為：

π

6

+

π

2

=

2π

3

點評：本題考查的知識點：三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)在定義域內(nèi)的值域，以及單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)的零點問題．