Question

直線l過(guò)點(diǎn)M（2，1）且分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)△OAB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅱ）當(dāng)|MA|•|MB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出直線l的截距式方程：

x

a

+

y

b

=1（a、b均為正數(shù)），根據(jù)題意利用基本不等式求出當(dāng)且僅當(dāng)a=4、b=2時(shí)，△OAB面積為S=4達(dá)到最小值，由此即可得到直線l的方程的方程；
（II）過(guò)M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為P、N，設(shè)∠MAP=α，利用解直角三角形算出|MA|•|MB|=

4

sin2α

，根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得當(dāng)α=45°時(shí)，|MA|•|MB|=4達(dá)到最小值，進(jìn)而得到此時(shí)直線l方程為x+y-3=0．

解答：解：（I）設(shè)直線l方程為

x

a

+

y

b

=1（a、b均為正數(shù)），
∵l過(guò)點(diǎn)M（2，1），
∴

2

a

+

1

b

=1．
∵1=

2

a

+

1

b

≥2

2 a • 1 b

，化簡(jiǎn)得ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

1

b

時(shí)，即a=4，b=2時(shí)，等號(hào)成立，
∴當(dāng)a=4，b=2時(shí)，ab有最小值8，
此時(shí)△OAB面積為S=

1

2

ab=4達(dá)到最小值．
直線l的方程的方程為

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0．
（II）過(guò)M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為P、N
設(shè)∠MAP=α，則Rt△MPA中，
sinα=

|MP|

|MA|

，得|MA|=

|MP|

sinα

=

1

sinα

，
同理可得：|MB|=

2

cosα

∴|MA|•|MB|=

2

sinαcosα

=

4

sin2α

∵sin2α∈（0，1]，
∴當(dāng)2α=90°時(shí)，即α=45°時(shí)，sin2α=1達(dá)到最大值，|MA|•|MB|=

4

sin2α

=4達(dá)到最小值，
此時(shí)直線l的斜率k=-1，得直線l方程為y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線，求滿足特殊條件的直線方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、基本不等式求最值和解直角三角形等知識(shí)，屬于中檔題．