Question

已知函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為（　　）

A．（ e2+1 e ，+∞）

B．（-∞， e2+1 e ）

C．（- e2+1 e ，-2）

D．（2， e2+1 e ）

Answer 1

f（x）=|xe^x|=

xex  (x≥0) -xex(x＜0)

，
當(dāng)x≥0時(shí)，f^′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f^′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f^′（x）=0，得x=-1，當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f^′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f^′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一個(gè)最大值為f（-1）=-（-1）e^-1=

1

e

，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根，
令f（x）=m，則方程m²+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在（0，

1

e

）內(nèi)，一個(gè)根在（

1

e

，+∞）內(nèi)，
再令g（m）=m²+tm+1，因?yàn)間（0）=1＞0，
則只需g（

1

e

）＜0，即（

1

e

）²+

1

e

t+1＜0，
解得：t＜-

e2+1

e

．
所以，使得函數(shù)f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個(gè)實(shí)數(shù)根的t的取值范圍是（-∞，-

e2+1

e

）．
故選B．