Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A₁在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AC₁與底面ABC所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出點(diǎn)A₁到底面的距離A₁O的長(zhǎng)度，即知點(diǎn)C₁到底面的距離的長(zhǎng)度，再求出AC₁的長(zhǎng)度，在直角三角形中求AC₁與底面ABC所成角的正弦，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其余弦值即可．
解答：解：設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都等于a，如圖，
則AO==，
又cos∠A₁AC=×cos30°=，
∴∠A₁AC=60°，∠AA₁C=120°，
在菱形ACC₁A₁中，AC₁=a，
又點(diǎn)C₁到底面ABC的距離等于點(diǎn)A₁到底面ABC的距離A₁O==，
∴AC₁與底面ABC所成角的正弦值為=，
∴AC₁與底面ABC所成角的余弦值為．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面角的定義，還有點(diǎn)面距與線面距的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力．