Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)且f（1）=2，當x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0時，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，若f（x）≥m²-2am-5對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)g（a）即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴當x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0時，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0等價為

f(x1)-f(-x2)

x1-(-x2)

＞0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增．
∵f（1）=2，
∴f（x）的最小值為f（-1）=-f（1）=-2．
要使f（x）≥m²-2am-5對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
即-2≥m²-2am-5對所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²-2am-3≤0，
設(shè)g（a）=m²-2am-3，
則滿足

g(-1)=m2+2m-3≤0 g(1)=m2-2m-3≤0

，
即

-3≤m≤1 -1≤m≤3

，
∴-1≤m≤1，
即實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．