Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則直線B₁B和平面CDB₁所成角的正切值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CC₁=2，我們易求出幾何體中各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，及而求出直線B₁B的方向向量和平面CDB₁的法向量，代入向量夾角公式，求出直線B₁B和平面CDB₁所成角的正弦值，再由同有三角函數(shù)關(guān)系，即可求出直線B₁B和平面CDB₁所成角的正切值．
解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向，建立空間坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=CC₁=2
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，1，0），B₁（0，2，2）
則=（0，0，-2），=（1，1，0），=（0，2，2）
設(shè)=（x，y，z）為平面CDB₁的一個(gè)法向量
則，即
令x=1則=（1，-1，1）
則cos==-
設(shè)直線B₁B和平面CDB₁所成角為θ
則sinθ=，cosθ=
則tanθ=
故選D
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面所成的角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將空間線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．