Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與一個(gè)雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，|F1F2|=2

13

，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3：7，
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為兩曲線的交點(diǎn)（P在第一象限），求

PF1

•

PF2

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)半焦距c=

13

，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，由離心率之比求出a，進(jìn)而求出橢圓短半軸的長(zhǎng)及雙曲線的虛半軸的長(zhǎng)，寫(xiě)出橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由橢圓、雙曲線的定義求出PF₁與PF₂的長(zhǎng)，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求出 cos∠F₁PF₂ 的值，最后利用向量的數(shù)量積公式求解即可．

解答：解：（1）由題意知，半焦距c=

13

，設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸為a，則雙曲線實(shí)半軸 a-4，
離心率之比為

3

7

=

13 a

13 a-4

，
∴a=7，
∴橢圓的短半軸等于

49-13

=6，雙曲線虛半軸的長(zhǎng)為

13-9

=2，
∴橢圓和雙曲線的方程分別為：

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．
（2）由橢圓的定義得：PF₁ +PF₂=2a=14，
由雙曲線的定義得：PF₁-PF₂=6，
∴PF₁=10，PF₂=4，
又F₁F₂=2

13

，三角形F₁PF₂中，利用余弦定理得：(2

13

)2=100+16-80cos∠F₁PF₂，
∴cos∠F₁PF₂=

4

5

．
則

PF1

•

PF2

=|

PF1

|•|

PF2

|cos∠F₁PF₂=10×4×

4

5

=32．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．