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已知cosx+siny=
1
3
,x,y∈R.
(1)若cosx•siny>0,求
2siny+cosx
cosxsiny
的最小值;
(2)設t=sin2x-siny,求t的取值范圍.
考點:同角三角函數基本關系的運用
專題:三角函數的求值
分析:(1)原式整理后,利用基本不等式求出最小值即可;
(2)將已知等式變形表示出siny,t中第一項利用同角三角函數間基本關系變形,將siny代入,利用二次函數的性質求出范圍即可.
解答: 解:(1)
2siny+cosx
cosxsiny
=
2
cosx
+
1
siny
=3×
1
3
(cosx+siny)(
2
cosx
+
1
siny
)=3(3+
2siny
cosx
+
cosx
siny
)≥3(3+2
2
),
當且僅當siny=
2
-1
3
,cosx=
2-
2
3
時等號成立;
(2)由cosx+siny=
1
3
,得siny=
1
3
-cosx,
由-1≤cosx≤1,-1≤siny≤1,得-
2
3
≤cosx≤1,
可得t=sin2x-siny=1-cos2x-
1
3
+cosx=-(cosx-
1
2
2+
11
12

當cosx=-
2
3
時,tmin=-
4
9
;當cosx=
1
2
時,tmax=
11
12

則t的取值范圍是[-
4
9
,
11
12
].
點評:此題考查了同角三角函數間的基本關系,熟練掌握基本關系是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

通過隨機詢問某校110名高中學生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明,得到如下的2×2列聯表:
性別與看營養(yǎng)說明2×2列聯表    單位:名
總計
看營養(yǎng)說明503080
不看營養(yǎng)說明102030
總計6050110
(1)從這50名女生中按是否看營養(yǎng)說明采取分層抽樣,抽取一個容量為5的樣本,再從這5名女生樣本中隨機選取兩名作深度訪談,求選到看與不看營養(yǎng)說明的女生各一名的概率;
(2)根據以上2×2列聯表,問有多大把握認為“性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明”有關?
統(tǒng)計量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d).
概率表
p(K2≥k00.150.100.050.0250.010
k02.0722.7063.8415.0246.635

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是二次函數且f(0)=-1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

某人計劃開墾一塊面積為32平方米的長方形菜地,同時要求菜地周圍要留出前后寬2米,左右寬1米的過道(如圖),設菜地的長為x米.
(1)試用x表示菜地的寬;
(2)試問當x為多少時,菜地及過道的總面積y有最小值,最小值為多少?

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科目:高中數學 來源: 題型:

是否存在角α、β,α∈(-
π
2
,
π
2
),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=
2
cos(
π
2
-β),
3
sin(
2
+α)=-
2
cos(π+β)同時成立?若存在,求出α、β的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在△ABC中,a2+c2-b2=ac,
(1)求角B的大小;                
(2)求sinA•sinC的最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知-1≤x≤0,求函數y=2x+1-3•4x的最大值和最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=-x2+2x.
(1)證明:f(x)在[1,+∞)上是減函數;
(2)當x∈[0,5]時,求f(x)的最大值和最小值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a1=6,a1•a2…an=(n2+1)•3n,求an

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