Question

(22)如圖，對每個正整數(shù)n，A_n（x_n，y_n）是拋物線x²=4y上的點，過焦點F的直線FA.交拋物線于另一點B_n（s_n，t_n）.

（Ⅰ）試證：x_ns_n=－4（n≥1）；

（Ⅱ）取x_n=2ⁿ，并記C_n為拋物線上分別以A_n與B_n為切點的兩條切線的交點.試證：

|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=2ⁿ-2^-n+1+1（n≥1）.

Answer 1

證明：（Ⅰ）對任意固定的n≥1，因為焦點F（0，1），所以可設(shè)直線A_nB_n的方程為y-1=k_nx，將它與拋物線x²=4y聯(lián)立得

x²-4k_nx-4=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x_ns_n=-4.

   (Ⅱ)對任意固定的n≥1，利用導(dǎo)數(shù)知識易得拋物線x²=4y在A_n處的切線的斜率=

故x²=4y在A_n處切線方程為

y-y_n=(x-x_n),       ①

類似地，可求得x²=4y在B_n處的切線方程為

y-t_n=（x-s_n）.   ②

由②減去①得

y_n-t_n=-

從而         

     ③

將③代入①并注意x_ns_n=-4得交點C_n的坐標(biāo)為（，－1）.

由兩點間的距離公式得

|FC_n|²=

                =

從而          |FC_n|-

現(xiàn)在x_n=2ⁿ.利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得，

|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|