Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；

（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；

（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（I）證明：取AB中點(diǎn)M，連FM，GM．

∵ G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

∴ GM∥AD，且GM=AD，

又∵ FE∥AD，

∴ GM∥FE且GM=FE．

∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．

又∵ 平面ABF，平面ABF，

∴ EG∥平面ABF．

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．

∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，

∴ △AEF是正三角形．

∴ ∠AEF=60º，

由EF//AD知∠EAD=60º，

∴ EN=AE∙sin60º=．

∴ 三棱錐B-AEG的體積為

．

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：

∵ 四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴ CD⊥平面AFED，

∴ CD⊥AE．

∵ 四邊形AFED為梯形，F(xiàn)E∥AD，且，

∴ ．

又在△AED中，EA=2，AD=4，，

由余弦定理，得ED=．

∴ EA²+ED²=AD²，

∴ ED⊥AE．

又∵ ED∩CD=D，

∴ AE⊥平面DCE，

又面BAE，

∴ 平面BAE⊥平面DCE．