Question

在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并加以證明；
（2）求證：

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

≥

2n

n+11

對一切n∈N*成立．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}中，由a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

，分別令n=1，2，3，依次求出a₂，a₃，a₄，猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并加以證明．
（2）由an=

3

n+5

，知

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

=

1

6

+

1

7

+…+

1

n+5

，故（

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）²=n²，由此能夠證明

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

≥

2n

n+11

．

解答：解：（1）數(shù)列{a_n}中，∵a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

，
∴a2=

3× 1 2

1 2 +3

=

3

7

，
a3=

3× 3 7

3 7 +3

=

3

8

，
a4=

3× 3 8

3 8 +3

=

3

9

．
由此猜想：an=

3

n+5

．
證明：由an+1=

3an

an+3

，知

1

an+1

=

1

an

+

1

3

，
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

3

=

n+5

3

，
∴an=

3

n+5

．
（2）∵an=

3

n+5

，
∴

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

=

1

6

+

1

7

+…+

1

n+5

，
（

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

）[6+7+…+（n+5）]≥（1+1+…+1）²=n²，
∴

a1

3

+

a2

3

+…+

an

3

≥

n2

n(n+11) 2

=

2n

n+11

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和證明，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．