Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2-2x+1，設g（x）=（3a²-2）x，
（1）當a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）如果函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f^/（x）=0及函數(shù)f（x）的單調(diào)性，判斷f（x）的極值點，進而求得相應地極值．
（2）首先把“函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖象有且僅有一個公共點”等價變換為“函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

 x³-ax²-3a²x+1的圖象與x軸只有一個交點”；然后根據(jù)F^/（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a）的正負性，分析 F（x）的單調(diào)性；結合F（x）的草圖，可得關于a的不等式F（3a）•F（-a）＞0，進而解之即可．

解答：解：（1）當a=

1

2

時，f^/（x）=x²-x-2
令f^/（x）=0，得x=2或x=-1．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，2）
所以f（-1）_極大值=

13

6

，f（2）_極小值=-

7

5

，
（2）f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個公共點等價于方程f（x）-g（x）=0僅有一個實數(shù)解，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x³-ax²-3a²x+1，即F（x）=0僅有一個實數(shù)解，
又F^/（x）=x²-2ax-3a²=（x-3a）（x+a），
要使F（x）=0僅有一個實數(shù)解，即函數(shù)F（x）的圖象與x軸只有一個交點，其草圖如下：

故F（3a）•F（-a）＞0，
即(-9a3+1)(

5

3

a3+1)＞0，所以-

3

5

＜a3＜

1

9

，
即a∈(-

3 75

5

，

3 3

3

)時，f（x）與g（x）的圖象只有一個公共點．

點評：單調(diào)性是函數(shù)最基本、最重要的性質(zhì)，對函數(shù)綜合問題的考查總會有單調(diào)性相伴；而導數(shù)法又是研究函數(shù)單調(diào)性的最基本方法．一定要注意導數(shù)法的靈活運用．