0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的（　�。l件．
分析：對a進行討論，當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，當a≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，此時分兩種情況，當a＞0時，函數(shù)開口向上，先減后增，當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減，求出函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件再進行判斷即可．
解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)f（x）=-2x+2為遞減函數(shù)，
（2）當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，先減后增，故函數(shù)對稱軸為x=
1-a
a
≥4，解得0＜a≤
1
5
；
當a＜0時，函數(shù)開口向下，先增后減，
函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上不可能為減函數(shù)，故舍去．
故函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)的充要條件為0≤a≤
1
5

由0＜a≤
1
5
能推出0≤a≤
1
5
，但由0＜a≤
1
5
不能推出0≤a≤
1
5
，
故0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件．
故選A．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性和對稱軸、充要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“0＜a≤
15
”是“函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)”的
充分不必要
充分不必要
條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•自貢三模）給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有a1-c1=a2-c2；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④若a∈（π，
5π
4
），則
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函數(shù)f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為2．
其中所有真命題的代號有
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c1a2＞a1c2；
③函數(shù)y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數(shù)f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U
1
1-a
＞1+a＞
2a
；
⑤函數(shù)f（x）=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
（x≠kπ+
π
2
），k∈Z，/為虛數(shù)單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

“0＜a≤
1
5
”是“函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上的減函數(shù)”的______條件．

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