Question

已知動點P與直x=4的距離等于它到定點F（1，0）的距離的2倍，
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）點M（1，1）在所求軌跡內(nèi)，且過點M的直線與曲線C交于A、B，當(dāng)M是線段AB中點時，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點到直線的距離公式及兩點間的距離公式將已知的幾何條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，化簡得到動點P的軌跡C的方程．
（2）先檢驗直線斜率不存在時，再設(shè)出直線斜率存在的方程，設(shè)出兩交點坐標(biāo)，將兩交點的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩個等式相減得到直線的斜率與中點的坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線的方程．
解答：解：（1）設(shè)動點P（x，y），由，平方整理得
即為軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，直線x=1與橢圓交于兩點，由圖形的對稱性，
線段AB的中點應(yīng)在x軸上，M點不滿足題意．故直線AB的斜率存在，
設(shè)直線AB的方程為y-1=k（x-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
作差得

∴
∴
即3x+4y-7=0
點評：解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，若牽扯到相交弦的中點問題，一般利用設(shè)出交點坐標(biāo)，代入圓錐曲線的方程，作差得到直線的斜率與相交弦的中點坐標(biāo)間的關(guān)系．