Question

（2010•泰安一模）已知函數(shù)f（x）=a^x-xlna，其中a∈（1，e]
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求證：對?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為y′的解析式，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）對?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）max-f（x）min．轉(zhuǎn)化為求f（x）max與f（x）min問題．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=a^x-xlna∴f'（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，∵a∈（1，e]∴l(xiāng)na＞0
f'（x）＞0可得x＞0
f'（x）=0可得x=0
f'（x）＜0可得x＜0
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]在單調(diào)遞增∴當(dāng)x=0時f（x）取得最小值f（x）_min=f（0）=1f（x）_max=max{f（1），f（-1）}…（6分）
又f(1)=a-lna，f(-1)=

1

a

+lnaf(1)-f(-1)=a-

1

a

-2lna
設(shè)g(a)=a-

1

a

-2lna，a∈[1，e]∵g′(a)=1+

1

a2

-

2

a

=(

1

a

-1)2＞0∴g（a）在[1，e]上單調(diào)遞增．又g（1）=0，∴g（a）＞0，a∈[1，e]∴f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1）∴在[-1，1]上，f（x）的最大值為f（1）=a-lna…（9分）∴對?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（0）
又f（1）-f（0）=a-lna-1
即對?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a-lna-1…（11分）
設(shè)h（a）=a-lna-1，a∈[1，e]則h′(a)=1-

1

a

＞0∴h（a）在（1，e]上單調(diào)遞增，∴h（a）_max=h（e）=e-2∴a-lna-1≤e-2
綜上所述，對?x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-2…（14分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性，查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想，綜合性強(qiáng)．