已知函數(shù)f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x
．
（1）試求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）已知a是方程f（x）=0的一個實數(shù)解，求證：|a|＞
1
2
．
分析：（1）要使函數(shù)有意義，必須使得分母不為0，對數(shù)的真數(shù)大于0即可得函數(shù)的定義域，再利用f（-x）=-f（x），判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）易證函數(shù)在（0，1）上為減函數(shù)，在（-1，0）上也是減函數(shù)，又f(
1
2
)＞0，問題可得證．
解答：解：（1）由
x≠0
1+x
1-x
＞0
得，x∈（-1，0）∪（0，1）------------------------（2分）
又f(-x)=
1
-x
-lg
1-x
1+x
=-f(x)∴f（x）為奇函數(shù)--------------------------------------------------（6分）
（2）可證f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，又f（x）為奇函數(shù)∴f（x）在（-1，0）上也是減函數(shù)----------（10分）∵f(
1
2
)=2-log23＞0，f（x）為奇函數(shù)∴a＞
1
2
或a＜-
1
2
即|a|＞
1
2
--------------------------（14分）
點評：本題主要考查函數(shù)的性質，考查定義域、單調性、奇偶性，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案