已知f(x)=數(shù)學(xué)公式
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解:(1)當(dāng)x>3時(shí),f(x)=f(3)是常數(shù),不是單調(diào)函數(shù);
當(dāng)0≤x≤3時(shí),f(x)=,求導(dǎo),得f′(x)=-,
由f′(x)>0得,0<x<,
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,),f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(,3).
(2)由(1)知,f(0)=3,f(x)最大值=f()=,f(3)=,
方程f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,
等價(jià)于直線y=a與曲線y=f(x)恰有一個(gè)公共點(diǎn),
∴a=<a<3.
分析:(1)先求導(dǎo)函數(shù),求出f'(x)=0的兩個(gè)根,然后比較大小,確定a的范圍,最后根據(jù)f'(x)>0的解集為增區(qū)間,f'(x)<0的解集為減區(qū)間;
(2)先把關(guān)于x的方程f(x)-a=0只有一個(gè)解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=a的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),再利用函數(shù)y=f(x)的最大值,看函數(shù)y=a的圖象滿足什么條件時(shí)符合要求即可求出對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本試題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)與方程的思想,解決關(guān)于方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸能力.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,是我們對(duì)于超越函數(shù)的一般的研究方法,考查了同學(xué)們的基礎(chǔ)知識(shí),基本技能和思維能力的綜合性.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時(shí),都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對(duì)所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實(shí)數(shù)x=1的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),則a的最大值是
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=2,任取a、b∈[-1,1],a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0成立
(1)判斷f(x)的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;     
(2)解不等式f(x)<f(
1
x+1
)

(3)若f(x)≤2m2-2am+3對(duì)所有的m∈[0,3]恒成立,求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=2cos2x+asin2x+b-1(a>0)的最大值比最小值大4.
(1)求a的值;
(2)當(dāng)x∈[0,
π2
]
時(shí),|f(x)|≤3恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2007•崇文區(qū)二模)已知f(x)=x2+2xf′(1),則f′(1)等于( 。

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