設(shè)f(x)=ex(ax2+x+1).
(I)若a>0,討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)x=1時,f(x)有極值,證明:當(dāng)θ∈[0,數(shù)學(xué)公式]時,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.

解:(I)f(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=ex[ax2+(2a+1)x+2]=
(i)當(dāng)時,恒成立,∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.
(ii)當(dāng)時,則,即
由f(x)>0,解得;當(dāng)f(x)<0時,解得
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間和(-2,+∞)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(iii)當(dāng)時,則,即
由f(x)>0,解得;由f(x)<0,解得
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-2)和(-,+∞)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.
(II)∵當(dāng)x=1時,f(x)有極值,∴f(1)=0.∴,解得a=-1.
∴f(x)=ex(-x2+x+1),f(x)=-ex(x-1)(x+2).
令f(x)>0,解得-2<x<1,∴f(x)在[-2,1]上單調(diào)遞增,
∵sinθ,cosθ∈[0,1],∴|f(sinθ)-f(cosθ)|≤f(1)-f(0)=e-1<2.
分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得,通過分類討論的大小關(guān)系,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出單調(diào)區(qū)間;
(II)由x=1時,f(x)有極值,得到f(1)=0,即可得到a的值,再求出其單調(diào)遞增區(qū)間,即可得出.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識與方法,需要較強(qiáng)的推理能力和計算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
ex             (x<0)
a+x        (x≥0)
當(dāng)a為何值時,函數(shù)f(x)是連續(xù)的.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ex-ax-1
(1)若f(x)在[-∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)g(x)=-x2+2x-2,在(1)的條件下,求證:g(x)的圖象恒在f(x)圖象的下方.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•臨沂一模)設(shè)f(x)=ex(ax2+x+1).
(I)若a>0,討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)x=1時,f(x)有極值,證明:當(dāng)θ∈[0,
π2
]時,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ex(ax2+x+1).
(1)若a≤0,討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若x=1是函數(shù)f(x)的極值點,
證明:當(dāng)θ∈[0,
π2
]時,|f(cosθ)-f(sinθ)|<2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果在(a,b)(a<b)上的函數(shù)f(x),對于?x1,x2∈(a,b)都有f(
x1+x2
2
1
2
[f(x1)+f(x2)]
(x1≠x2),則稱f(x)在(a.b)上是凹函數(shù),設(shè)f(x)在(a,b)上可導(dǎo),其函數(shù)f′(x)在(a,b)上也可導(dǎo),并記[f′(x)]′=f″(x)
(1)如果f(x)在(a,b)上f″(x)>0,證明:f(x)在(a,b)上是凹函數(shù)
(2)若f(x)=(x2-2ax-a+a2)ex-lnx,用(1)的結(jié)論證明:當(dāng)a<-2時f(x)在(0,+∞)上是凹函數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案