Question

已知四棱臺上，下底面對應邊分別是a，b，試求其中截面把此棱臺側(cè)面分成的兩部分面積之比．

Answer 1

分析：本題考查的是棱臺的側(cè)面積和中截面的綜合類問題．在解答時，首先要還臺為錐充分結(jié)合側(cè)面三角形的相似特征，根據(jù)面積比是相似比的特點，結(jié)合等比定理即可獲得問題的解答．

解答：解：設A₁B₁C₁D₁是棱臺ABCD-A₂B₂C₂D₂的中截面，延長各側(cè)棱交于P點．
∵BC=a，B₂C₂=b∴B₁C₁=

a+b

2

∵BC∥B₁C₁∴

S△PBC

S△PB1C1

=

a2

( a+b 2 )2

∴S△PB1C1=

(a+b)2

4a2

•S△PBC
同理S△PB2C2=

b2

a2

•S△PBC
∴

SB1C1CB

SB2C2C1B1

=

S△PB1C1=S△PBC

S△PB2C2-S△PB1C1

=

(a+b)2 4a2 -1

b2 a2 - (a+b)2 4a2

=

b2+2ab-3a2

3b2-2ab-a2

=

(b+3a)(b-a)

(3b+a)(b-a)

=

b+3a

3b+a

同理：

SABB1A1

SA1B1B2A1

=

SDCC1D1

SD1C1C2D2

=

SADD1A1

SA1D1D2A1

=

b+3a

3b+a

由等比定理，得

S上棱臺側(cè)

S下棱臺側(cè)

=

3a+b

a+3b

故中截面把此棱臺側(cè)面分成的兩部分面積之比為：

S上棱臺側(cè)

S下棱臺側(cè)

=

3a+b

a+3b

．

點評：本題考查的是棱臺的側(cè)面積和中截面的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了，還臺為錐的思想、三角形相似的知識以及等比定理的知識．值得同學們體會反思．