Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最大值與最小值；
（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使函數(shù)f（x）在[-2，2]上是減函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a代入，再配方，求得其對稱軸，再求最值．
（2）先對函數(shù)配方，求出其對稱軸，根據(jù)條件來研究對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，分三種情況，一是對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，二是對稱軸在區(qū)間的右側(cè)，三是對稱軸在區(qū)間的之間，求得最值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²，
∵-2≤x≤2
∴f（x）_min=f（-2）=-9，f（x）_max=
f（1）=0
（2）∵f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1
∴當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）為增函數(shù)
∴要使f（x）在[-2，2]上為減函數(shù)，
則[-2，2]⊆[a，+∞），
解得：a≤-2，
∴a的取值范圍是（-∞，-2]
（3）由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1（-2≤x≤2）
∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（a）=f（a）=a²-1
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（a）=f（-2）=-4a-5
當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）=f（2）=4a-5
∴g（a）=

-4a-5 (a＜-2) a2-1 (-2≤a≤2) 4a-5 (a＞2)

∴當(dāng)-2≤a≤2時(shí)，g（a）=a²-1，
∴-1≤g（a）＜3
當(dāng)a＞2時(shí)，g（a）=4a-5，
∴g（a）＞3
當(dāng)a＜-2時(shí)，g（a）=-4a-5，
∴g（a）＞3
綜上得：g（a）≥-1
∴g（a）的最小值為-1，此時(shí)a=0．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，這類題目的關(guān)鍵是明確開口方向，再研究對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，從而明確單調(diào)性，求得最值．