Question

已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）點G在線段BC上，且BG=

3

，求點D到平面PAG的距離．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）證明平面PDC內的直線CD，垂直平面PAD內的兩條相交直線PA，AD即可證明CD⊥平面PAD，從而證明平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）E是PD的中點，設CD的中點為F，連接EF、AF，說明∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角，解三角形AEF，就可求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）過點D作DM⊥AG于M．點G在線段BC上，且BG=

3

，說明線段DM的長是點D到平面PAG的距離，利用三角形面積求點D到平面PAG的距離．
法二：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
（Ⅰ）利用

CD

•

AD

=0 及 

CD

•

AP

=0證明CD⊥平面PAD．推出平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）利用cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

直接求解即可．
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q，說明線段DQ的長是點D到平面PAG的距離，利用2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2求出點D到平面PAG的距離為1．

解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）解：設CD的中點為F，連接EF、AF．
∵E是PD中點，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，計算得AE=

1

2

PD=

5

2

，EF=

1

2

PC=

6

2

，AF=

17

2

，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

5 4 + 6 4 - 17 4

2• 5 2 • 6 2

=-

30

10

，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為

30

10

．（10分）
（Ⅲ）解：過點D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM．
又PA∩AG=A，
∴DM⊥平面PAG．
∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離．（12分）
又S△AGD=

1

2

AG•DM=

1

2

1+( 3 )2

•DM=1，
解得DM=1．
所以點D到平面PAG的距離為1．（14分）
解法二：如圖，以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0，），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）．
∴

CD

=（-1，0，0），

AD

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），

AE

=（0，1，

1

2

），

PC

=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵

CD

•

AD

=0，
∴CD⊥AD．
∵

CD

•

AP

=0，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）

（Ⅱ）∵cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

=

2- 1 2

1+ 1 4 • 6

=

30

10

，（9分）
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為

30

10

．（10分）
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥平面PAG．
∴線段DQ的長是點D到平面PAG的距離．（12分）
∵2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2，
由|

AG

|=2，得到|

DQ

|=1．
∴點D到平面PAG的距離為1．（14分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，點、線、面間的距離計算，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．