Question

20．三角形PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，$AB=4\sqrt{2}$，BC=3．點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別在線段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）證明：BC∥平面PDA；
（2）求二面角P-AD-C的大��；
（3）求直線PA與直線FG所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，知BC∥AD，由此能證明BC∥平面PDA．
（2）推導(dǎo)出AD⊥DC，AD⊥平面PCD，從而AD⊥DC，AD⊥PD，進(jìn)而∠PDC即為二面角P-AD-C的平面角，由此能求出二面角P-AD-C的大�。�
（3）連接AC，推導(dǎo)出AC∥FG，從而∠PAC為直線PA與直線FG所成角或其補(bǔ)角，由此能求出直線PA與直線FG所成角的余弦值．

解答 證明：（1）因?yàn)樗倪呅?A BCD是長(zhǎng)方形，
所以 BC∥AD，
因?yàn)?BC?平面 PD A，AD?平面 PD A，
所以 BC∥平面 PD A
解：（2）∵△ABCD是矩形，∴AD⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，
且平面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面PCD，又CD、PD?平面PDC，
∴AD⊥DC，AD⊥PD，∴∠PDC即為二面角P-AD-C的平面角，
在Rt△PDE中，PD=4，$DE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{2}，PE=\sqrt{P{D^2}-D{E^2}}=2\sqrt{2}$．
∴$tan∠PDC=\frac{PE}{DE}=1$，
即二面角P-AD-C的大小為45°．
（3）如下圖所示，連接AC，∵AF=2FB，CG=2GB，
即$\frac{AF}{FB}=\frac{CG}{GB}=2$，∴AC∥FG，
∴∠PAC為直線PA與直線FG所成角或其補(bǔ)角，
在△PAC中，PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=5，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴PA²+PC²=AC²，
∴PA²+PC²=AC²，
∴cos∠PAC=$\frac{PA}{AC}=\frac{5}{\sqrt{41}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$，
∴直線PA與直線FG所成角的余弦值為$\frac{{5\sqrt{41}}}{41}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面關(guān)系、二面角求法，線面角余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．