Question

（2006•靜安區(qū)二模）如圖所示，已知長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于E點(diǎn)，且AB=AD=2，兩條異面直線A₁D與AC所成的角的大小為arccos

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，求：長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

分析：平面ABCD內(nèi)，過(guò)D作DF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)A₁F，則∠A₁DF是異面直線A₁D與AC所成的角．利用三角形全等證出A₁F=A₁D，在等腰△A₁DF中由余弦定理算出A₁D=2

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，從而得到A₁A=4，利用長(zhǎng)方體的體積公式即可得到長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

解答：解：平面ABCD內(nèi)，過(guò)D作DF∥AC交BA的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)A₁F
可得∠A₁DF是異面直線A₁D與AC所成的角
∵長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，
∴Rt△A₁AF≌Rt△A₁AD，可得A₁F=A₁D
∵四邊形ACDF的兩組對(duì)邊分別平行
∴四邊形ACDF為平行四邊形，可得DF=AC=

22+22

=2

2

設(shè)A₁F=A₁D=x，
△A₁DF由余弦定理，得cos∠A₁DF=

8+x2-x2

2•2 2 •x

=

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，解之得x=2

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Rt△A₁AD中，A₁A=

A1D2-AD2

=4
因此，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=2×2×4=16．

點(diǎn)評(píng)：本題給出長(zhǎng)方體內(nèi)兩條異面直線的所成角，求長(zhǎng)方體的體積．著重考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)和異面直線的定義與求法等知識(shí)，屬于中檔題．