如圖，點P是半圓C：x2+y2=1（y≥0）上位于x軸上方的任意一點，A、B是直徑的兩個端點，以AB為一邊作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求證：BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列．
考點：等比關(guān)系的確定
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：根據(jù)條件先BE，EF，F(xiàn)A，然后利用等比數(shù)列的定義，進行證明即可．
解答： 證明：設(shè)P（cosα，sinα），C（-1，-2），D（1，-2），
E（x1，0），F(xiàn)（x2，0）．
∵點P、E、C三點共線，
∴
sinα+2
cosα+1
=
2
x1+1
，
∴x1=
2(cosα+1)
sinα+2
-1．    
由點P、F、D三點共線，
∴
sinα+2
cosα-1
=
2
x2-1
，
∴x2=
2(cosα-1)
sinα+2
+1．                                    
∴BE=x1+1=
2(cosα+1)
sinα+2
，EF=x2-x1=
2sinα
sinα+2
，F(xiàn)A=
2(cosα-1)
sinα+2
．
∴BE•FA=
2(cosα+1)
sinα+2
×
2(cosα-1)
sinα+2
=
4sin2α
(sinα+2)2
=EF2．
即BE，EF，F(xiàn)A成等比數(shù)列．
點評：本題主要考查等比數(shù)列的判斷，利用條件建立先BE，EF，F(xiàn)A的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，涉及的知識點較大，難度較大．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關(guān)系是（　�。�
A、平行B、相交
C、異面D、平行、相交或異面

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ax-1
x+2
的圖象關(guān)于y=x對稱，則a=（　　）
A、-4B、-2C、2D、4

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已知x，y∈R+，且x+y=3，則
1
x
+
1
y
的最小值為（　　）
A、4
B、
4
3
C、
3
4
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線經(jīng)過點P（-3，2
7
）和點Q（-6
2
，7），求此雙曲線的標準方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過原點的二次函數(shù)y=f（x）的頂點為（-1，-1）
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求h（x）=f（lgx），（x＞0）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若g(x)=
f(x)+k
x2+x+1
，x∈R的值域為[
2
3
，2]，求實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為其前n項和，對于任意n∈N*，滿足關(guān)系Sn=2an-2．
（1）證明：{an}是等比數(shù)列；
（2）在正數(shù)數(shù)列{cn}中，設(shè)（cn）n+1=
(n+1)
2n+1
an+1（n∈N*），求數(shù)列{lncn} 中的最大項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)y=xlnx，求其在點x=1處的切線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，其中a3，a5是方程x2-14x+45=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
1-bn
2
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=anbn，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求證：Tn≥
1
3
．

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