Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A(-1，0)、B(1，0),平面內(nèi)兩點G、M同時滿足以下條件：①,②,③∥.

(1)求△ABC的頂點C的軌跡方程；

(2)過點P(2，0)的直線l與(1)中的軌跡交于點E、F，求的取值范圍．

Answer 1

解：(1)設(shè)C(x，y)，G(x₀，y₀)，M(x_M，y_M)，

∵,M在線段AB的中垂線上，

∴,∥,∴y_M=y₀,

∴.

∴(-1-x₀，-y₀)+(1-x₀，-y₀)+(x-x₀，y-y₀)=(0，0)，

∴x₀=，y₀= 

∴y_M=y₀=,∵∴x²+=1(y≠0)為頂點C的軌跡方程.

(2)設(shè)l：y=k(x-2)，代入頂點C的軌跡方程得：

(k²+3)x²-4k²x+4k²-3=0，

設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，

∵△＞0，∴0＜k²＜1，∵P、E、F三點共線，

∴

=(1+k²)|4-2(x₁+x₂)+x₁x₂|

=

∴∈(3,).