Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（1）求異面直線AE與DD₁所成角的大�。ńY果用反三角表示）；   （2）求四面體AED₁D的體積．

Answer 1

分析：（1）取AA₁的中點為F，連接EF，根據(jù)D₁D∥AA₁則∠FAE為異面直線AE與DD₁所成角，在三角形∠FAE中求出此角的正切值，最后用反三角表示即可；
（2）由題意可知點E到側面ADD₁A₁的距離為2，然后根據(jù)等體積法可知V _A-ED1D=V _E-AD1D，最后利用錐體的體積公式進行求解即可．

解答：解：（1）取AA₁的中點為F，連接EF
∵D₁D∥AA₁
∴∠FAE為異面直線AE與DD₁所成角
AA₁=2，則AF=1，EF=2

2

∴tan∠FAE=2

2

則∠FAE=arctan2

2

（2）S_△AD1D=

1

2

×2×2=2，點E到側面ADD₁A₁的距離為2
V _A-ED1D=V _E-AD1D=

1

3

×2×2=

4

3

∴四面體AED₁D的體積為

4

3

點評：本題主要考查了異面直線及其所成的角，以及四面體的體積的度量，同時考查了空間想象能力，轉化與化歸運用是解決本題的關鍵，易錯求體積時不要忘了乘

1

3

．