Question

某項(xiàng)計(jì)算機(jī)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行，只有當(dāng)科目A成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加科目B的考試，已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩個(gè)科目均合格方快獲得證書，現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試，科目A每次考試成績(jī)合格的概率為

3

4

，科目B每次考試合格的概率為

2

3

，假設(shè)各次考試合格與否均互不影響．
（Ⅰ）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率；
（Ⅱ）在這次考試過程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為ζ，求隨即變量ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）設(shè)該人參加科目A考試合格和補(bǔ)考為事件A₁、A₂，參加科目B考試合格和補(bǔ)考合格為事件B₁、B₂，事件A₁、A₂、B₁、B₂互為獨(dú)立，設(shè)該人不需要補(bǔ)考就可以獲得證書為事件C，則C=A₁B₁，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可求出所求；
（II）ζ的取值可能為2，3，4，然后根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出相應(yīng)的概率，最后根據(jù)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式解之即可．

解答：解：設(shè)該人參加科目A考試合格和補(bǔ)考為事件A₁、A₂，參加科目B考試合格和補(bǔ)考合格為事件B₁、B₂，事件A₁、A₂、B₁、B₂互為獨(dú)立
（I）設(shè)該人不需要補(bǔ)考就可以獲得證書為事件C，則C=A₁B₁，
P（C）=P（A₁B₁）=P（A₁）P（B₁）=

3

4

×

2

3

=

1

2

（II）ζ的取值可能為2，3，4，則
P（ζ=2）=

3

4

×

2

3

+

1

4

×

1

4

=

27

48

=

9

16

；
P（ζ=3）=

3

4

×

1

3

×

2

3

+

1

4

×

3

4

×

2

3

+

3

4

×

1

3

×

1

3

=

18

48

=

3

8

P（ζ=4）=

1

4

×

3

4

×

1

3

×

2

3

+

1

4

×

3

4

×

1

3

×

1

3

=

3

48

=

1

16

所以，隨即變量ξ的分布列為

ξ	2	3	4
P	27 48	18 48	3 48

所以Eξ=2×

27

48

+3×

18

48

+4×

3

48

=

5

2

．         …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．